Resumen

Es conocido que la mayor parte de las columnas están sometidas a flexo-compresión biaxial. Durante muchos años esta problemática
se ha eludido, pues eran predominantes los análisis planos de las estructuras y por otra parte los cálculos de la flexo-compresión biaxial son
complejos y las ayudas de cálculo disponibles, exigían del proyectista un dominio del tema muy poco frecuente.
El desarrollo de los programas computacionales para el análisis de estructuras ha eliminado la primera justificación pues facilitan un
análisis espacial de los edificios mucho más realista y racional. Entonces se hace más importante contar con procedimientos que faciliten
el análisis de las columnas bajo solicitaciones de flexo-compresión biaxial. En este sentido se desarrolla este trabajo que aborda este tema
desde dos ángulos: en primer lugar analizar la influencia de la variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección, f,
en función de la inclinación de la carga y la repercusión que esta problemática tiene al utilizar los procedimiento simplificados basados en
el Método del Contorno de Carga de Bressler. En segundo orden el desarrollo de Hojas de Cálculo en MathCAD, basadas en la solución detallada
de las principales ecuaciones que rigen el comportamiento de la sección y que permiten un análisis más profundo, seguro, confiable
y sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la evaluación de diversas soluciones de diseño en corto plazo y contar con una amplia información
sobre las características del comportamiento de la sección.

1.INTRODUCCIÓN

Históricamente se ha evitado el diseño de secciones bajo cargas de flexo-compresión biaxial ya que por lo ge-neral solían prevalecer los análisis bidimensionales de las estructuras. Conjuntamente con lo planteado anterior-mente los procedimientos mediante los cuales es explicada la misma son complejos a causa de las múltiples formas que puede adoptar el bloque comprimido de hormigón y las diversas distribuciones de refuerzo, lo cual provoca que cada una de estas variantes evolucione en una solución di-ferente.

En el pasado siglo las ayudas de cálculo disponibles, gráficas o semi-gráficas en su mayoría, requerían del pro-yectista un dominio del tema muy poco frecuente y por otra parte acarreaban las imprecisiones que acompañan a este tipo de procedimiento.

El amplio despliegue que se ha desarrollado en los últimos tiempos en cuanto a softwares computaciona-les relacionados con el análisis y diseño de estructuras ha erradicado la primera de las razones mencionadas ya que estos permiten un análisis en tres dimensiones de las edificaciones con mayor racionalidad y realismo. Estas he-rramientas contribuyen a introducir mediante mecanis-mos de fácil manejo y compresión las acciones de carga de viento y sísmicas de forma más completa y rigurosa.

Por otra parte la introducción de un nuevo enfoque de la seguridad estructural por la ACI 318-2002, sobre todo en la evaluación del Factor de Reducción de la Resistencia, f, obliga a una nueva lectura en el empleo del Método del Contorno de Carga de Bresler, propuesto por la propia nor-mativa. (ACI 318-11)

En resumen, este trabajo aborda el tema desde dos ángulos.

  1. Desarrollo de Hojas de Cálculo en MATHCAD, basa-das en la solución detallada de las principales ecuacio-nes que rigen el comportamiento de la sección y que permiten un análisis más profundo, seguro, confiable y sencillo. Ofreciendo por tanto la posibilidad de la eva-luación de diversas soluciones de diseño en corto plazo y contar con una amplia información sobre las caracte-rísticas del comportamiento de la sección
  2. Analizar la influencia de la variación del factor de re-ducción de la capacidad resistente de la sección, f, en función de la inclinación de la carga y la repercusión que esta problemática tiene al utilizar los procedi-miento simplificados propuestos por la PCA y basa-dos en el Método del Contorno de Carga de Bressler.

2.AYUDAS DE CÁLCULO PARA LA FLEXO-COMPRESIÓN BIAXIAL

El análisis de la Flexión Compuesta biaxial o esviada se ilustra en la figura 1, donde la sección está sometida a una carga descentrada tanto en el eje x como en el y; siendo las excentricidades ex y eyrespectivamente. En dicha figura se destacan los diagramas de interacción obtenidos para la flexo-compresión recta en ambos ejes y esviada que ocu-rre esta última para ánguloλ respecto al eje x, este ángulo puede determinarse por:

Formula

El diagrama obtenido para el caso recoge todas las combinaciones de carga y momentos flectores en ambos ejes que limitan la resistencia de la sección. También se des-taca en la figura una superficie resistente para una carga Pndada, conocida como Contorno de Carga. Son dos formas de plantearse las zonas de resistencia de la sección.

La comprobación de una sección de forma cualquiera, con cualquier número y distribución de armaduras, some-tida a una solicitación normal (P, Mx, My), o, lo que es lo mismo, a una resultante normal P actuando con excentri-cidades ex=My / P, ey=Mx/P, referidas a los ejes de la sección, exige determinar la posición del eje neutro y la deforma-ción máxima de la sección. Para ello se usarán las ecua-ciones de compatibilidad y equilibrio. Estas ecuaciones no pueden expresarse de forma simple en función de las in-cógnitas del problema, por lo que este no admite solución analítica exacta y hay que recurrir a métodos aproximados. Tales métodos, tanto si son numéricos como si son gráfi-cos, exigen el tanteo de distintas posiciones del eje neutro, siendo el cálculo laborioso resultado conveniente, por ello, su tratamiento mediante ordenador (JIMÉNEZ MONTOYA 2000).

Desde el punto de vista analítico el problema funda-mental radica en determinar cuál es la inclinación de la línea neutra θ, ya que no puede obtenerse una relación en-tre λ y θ, pues como regla no son iguales, ni se relacionan, como se muestra en la figura 2 (PARK 1979).

El procedimiento se basa en determinar por separado el aporte del hormigón y del acero. Las ecuaciones de equi-librio, de acuerdo a la figura 2, son:

Formula

Figura 1. Diagrama de interacción en flexo compresión biaxial.

Figura 2. Diagrama de deformaciones, esfuerzos y fuerzas. Flexo compresión biaxial.

Formula

Donde zx y zys on las proyecciones sobre los ejes del brazo en la resultante del hormigón Cc.Empleando el diagrama rectangular – equivalente en la figura 2 se muestra el aporte del hormigón dentro de la sec-ción y como a partir del bloque comprimido puede obte-nerse Cc

Formula

Donde A' es el área comprimida del hormigón, que puede presentarse en 4 formas en función de la magnitud y posición de la carga, y todo se trata de obtener el área com-primida y la posición del centroide. Esta problemática se ilustra en la figura 3.

En la figura 4, se muestra el diagrama de deformacio-nes para una sección sometida a la flexión esviada, apoyo importante para determinar el esfuerzo a que está some-tido cada acero (fsi). Aunque se ejemplifica para 4 barras situadas en las esquinas, el procedimiento es válido para mayor número de barras situadas bordeando el perímetro de la selección

Considerando la proyección sobre el eje y

Formula

En la tabla 1 se ilustran las ecuaciones de las distancias z para diferentes distribuciones de barras. En las columnas ubicadas a la derecha se ofrecen los signos de los momen-tos en ambos ejes para cada barra asumiendo los ejes coor-denados en el centro de la sección. También se especifica con la simbología (0) en aquellos casos en los que debido a la posición de las barras y a la de los ejes coordenados no se genera momento resistente respecto a uno u otro de los ejes por la falta de brazo

Desarrollando esas ecuaciones generales se crean hojas de cálculo en MathCAD que parten de la siguiente filoso-fía: (ESHANI 1986)

  1. La base está en la confección de Diagramas de Inte-racción o Superficies de Contorno de Carga.
  2. Se comprueba la resistencia de la sección ante la combinación de carga a que esta está sometida.
  3. Parte de probar varias alternativas de: dimensiones de la sección, calidades de los materiales, cantidad y dis-tribución del refuerzo, hasta comprobar que la com-binación de carga escogida esté dentro del Diagramas de Interacción o de la Superficies de Contorno de Carga, garantizándose así la resistencia de la sección.

Siguiendo las superficies de falla antes enunciadas, se emplean dos vías de solución del problema:

1era vía: a través de la construcción de Diagramas de Interacción.

2da vía: graficando la Superficie de Contorno para una carga dada.

En la elaboración de los Diagramas de Interacción se sigue el procedimiento convencional, solo que se requerirá de la realización de tanteos para determinar la inclinación de la línea neutra θ. El elemento base será la relación entre los momentos flectores en ambos ejes, es decir el ángulo λ definido en la figura 1 y por la ecuación 1.

Entonces los pasos a seguir son:

  1. Definir las dimensiones de la sección y las resisten-cias de los materiales.
  2. Calcular Calcular Formula
  3. Fijar un valor de la posición de la línea neutra c y asumir la inclinación de esta θ
  4. Calcular Pn Mnx Mny y comprobar Calcular Pn Mnx Mny y comprobar Formula
  5. Repetir el proceso para otras c hasta completar el Dia-grama de Interacción.

En la figura 5 se muestra un ejemplo de diseño para re-solver una combinación de:

Pu = 600kNMux = 160kN.mMux = 100kN.m

Se utilizará una sección de 40x40cm2, fc ́= 25MPa y re-fuerzo G-60. La solución se alcanza con 8 barras Nº 25 co-locadas en todo el perímetro de la sección.

Figura 5. Hoja de cálculo empleando el diagrama de interacción.

Figura 6. Hoja de cálculo empleando la superficie de contorno de carga.

En la obtención de las Superficies de Contorno de Car-ga el elemento caracterizador es la carga de cálculo Pu, como lo indica su nombre. Estas superficies de contorno se construyen para valores de λ entre 0 y π/2. El procedi-miento se completa con:

  1. Fijar un valor de la posición de la línea neutra c e ir variando la inclinación de esta θy comprobar que Fijar un valor de la posición de la línea neutra c e ir variando la inclinación de esta θy comprobar que Formula
  2. Calcular Pny comprobar que fPn ≈ Pu. Si no se cum-ple se modifica c y se retoman los pasos anteriores.
  3. Calcular Mnx, Mny, f, Muxy Muy
  4. Repetir el proceso para otras valores de lhasta com-pletar la Superficie de Contorno.

La figura 6 expone la solución dada al ejemplo ante-rior siguiendo el procedimiento de construir la Superficie de Contorno de Carga

En resumen la labor desarrollada en la explotación de las hojas de cálculo permite plantear que:

  • Las HC resuelven el problema de la FCB a través de la solución de las ecuaciones físicas, de compatibi-lidad y equilibrio, por lo que ofrecen un referente conceptual a los estudiosos del tema. Dada las po-tencialidades antes expresadas las HC pueden con-vertirse en un valioso instrumento en manos de estudiantes y proyectistas.
  • La validación de los resultados obtenidos en las hojas de MathCAD mediante programas computacionales de vanguardia tales como el MIDAS nos permite ofre-cer a los usuarios docentes y profesionales una herra-mienta de diseño de columnas a FCB de fácil empleo ya que presenta una interfaz muy sencilla y accesible.
  • Se recomienda como herramienta de cálculo para el diseño y comprobación de secciones de hormigón armado de columnas sometidas a FCB las hojas de cálculo que contienen los diagramas de interacción antes que la superficies de contorno, dado principal-mente por el gasto computacional.

4.REFLEXIONES SOBRE LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DEL CONTORNO DE CARGA DEL PCA

El Método del Contorno de Carga de Bresler se basa en generar una superficie de contorno aproximada a la real, para cada Pn, y que responda a la siguiente expresión gene-ral: (BRESLER 1981)

Formula

Donde

Mnx y Mny Son los momentos nominales en los ejes x e y. Ambos son el equivalente vectorial del momento Mn, mos-trado en la figura 1.

MnoxMomento nominal uniaxial sobre el eje x, para Mny = 0

MnoyMomento nominal uniaxial sobre el eje y, para Mnx = 0

Los coeficientes α1y α2 dependen de la rectangulari-dad de la sección, las resistencias del hormigón y el acero y de la continuidad y distribución de este. Bresler considera razonable hacer α = α1 = α2, planteando que este varía en-tre 1,15 y 1,55 y que α=1,5 es un valor apropiado para sec-ciones rectangulares o cuadradas con refuerzo distribuido

Entonces puede plantearse:

Formula

Como una interpretación y extensión del procedimien-to anterior, en el que se basa, la PCA parte de definir, para un punto en el contorno de carga común de Bresler, la re-lación: (PCA 2011)

Formula

Al generarse múltiples contornos de cargas adimensio-nales para Pn/Po entre 0 y 1 se crea una superficie de falla que representa con claridad la connotación del término β, que depende únicamente de la relación Pn/Po. La PCA propone ábacos para obtener los valores de β, que dependen de las di-mensiones de la sección, la cuantía mecánica y la resistencia del acero. En la figura 9 se exponen algunos de estos gráficos.

Y relacionando α y β para las condiciones descritas se obtiene:

Formula

Por lo que la ecuación 7 para la comprobación de la re-sistencia quedará como:

Formula

El proceso de cálculo, comprobación de la resistencia para las cargas y momentos de cálculo (Pu,Muxy Muy), con-sistirá entonces en:

  1. Establecer la sección de la columna.
  2. Calcular los valores de Po,Mnox,Mnoy y β. Obtenidos considerando flexo-compresión recta.
  3. Comprobar para la combinación de cargas actuante el cumplimiento de la ecuación 8.

En la aplicación de este procedimiento uno de los as-pectos más complicados está en la estimación del coefi-ciente de seguridad f, que permita establecer las relaciones:

Formula

Antes de las modificaciones impuestas por la versión del código del ACI 318 en el 2002, el problema se resol-vía con sencillez pues era posible plantear que (NILSON 1999):

Figura 9. Constante β para secciones a flexo-compresión biaxial. (PCA 2002).

Formula

Y como fera prácticamente constante en toda la sec-ción entonces la expresión se simplificaba a

Formula

Como, a partir de ACI 318-2002, fes variable en fun-ción de la deformación del acero mas traccionado, ha que-dado demostrado en el acápite anterior y expuesto en las figuras 7 y 8, que para cargas menores que la balanceada la simplificación expuesta no puede aplicarse pues este coe-ficiente es diferente para la sección bajo flexo-compresión recta, cuando actúan Muoxy Muoy, a cuando se presenta la flexo-compresión esviada y actúan Muxy Muy

Sin embargo en los Manuales del ACI para el diseño de columnas, SP-17-09-07 (EVERARD 2007) se sugiere que “Para el diseño, si cada término de la ecuación (7) se mul-tiplica por fla ecuación no cambiará. Entonces Mux,Muy,Muox y Muoy pueden hacerse corresponder a fMnx,fMny,fMnox yfMnoy respectivamente y puede ser empleados pre-feriblemente en la expresión original”. Esta afirmación con-duce a una respuesta semejante a la aplicada antes del 2002, lo que puede generar confusión, pues se ha demostrado que subestimar la variación del coeficiente fpara la ocurrencia de momentos biaxiales provoca soluciones inseguras

La significación de esta problemática y su implicación en los procedimientos se ilustran en los siguientes ejerci-cios:

3.RESISTENCIA NOMINAL Y RESISTENCIA ÚLTIMA

La resistencia última según la ACI 318 se plantea como: (ACI 318-14)

Formula

El coeficiente fdepende del valor de la deformación del acero más traccionado, que es el situado en el lado opues-to a la fibra más comprimida, como se ilustra en la figura 2. La forma trapezoidal de la zona comprimida del hormi-gón la hace menos eficiente que una rectangular, pues re-quiere de un valor mayor de a =β1c para un mismo valor de Cc = 0,85fc ́A ́, o para el mismo valor de A ́. Entonces si la carga está esviada, para un mismo valor de Pu, el valor de c será mayor que si actuara en flexo-compresión recta, por consiguiente la deformación del acero más tracciona-do et será menor. Esta realidad provoca que este acero al-cance antes la fluencia, para una carga balanceada menor en la flexo-compresión biaxial que en la uniaxial. Lo mis-mo ocurrirá en la frontera entre la tracción controlada y la zona de transición con et =0,005.

En los gráficos de la figura 7 se exponen los resultados de someter a una sección rectangular de 40 x 60cm2, fc ́= 25MPay armada con 8 barras No. 25 y G – 60 a diferentes combi-naciones de carga y que permiten destacar como el coefi-ciente fes variable en función del ángulo l.

El 1er caso es una sección donde para los momentos Mnoxy Mnoy, en flexo-compresión recta, está en tracción controlada y f = 0,9. Sin embargo cuando ocurre la fle-xo-compresión biaxial el comportamiento de la sección pasa a la zona de transición y f menor que 0,9. Note que el valor me-nor de fse presenta para l =π/4

Figura 7. Influencia de la flexo-compresión biaxial en el coeficiente f.

En el 2do caso todas las secciones están en la zona de transición, pero de la misma forma el coeficiente disminuye para la flexo-compresión esviada. Una situación semejante se presenta para el 3er caso donde para flexo-compresión recta la sección se comporta en la zona de transición y en el resto en compresión controlada, con f = 0,65. En la tabla 2 se exponen los valores que caracterizan las superficies de contorno para las cargas evaluadas.

Si se analiza detenidamente la variación defante la actuación de momentos biaxiales, como se destaca en la figura 8, puede concluirse que la diferencia entre los valo-res para Mnox y Mnoy y la obtenida para cuando Mnx = Mny, λ =π/4, puede alcanzar un valor de 0,9/0,786=1,15, para cuando Pu = 600kN y 0,792/0,993=1,14, para cuando Pu = 1100kN, siempre que se tome el menor valor de fpara los momentos uniaxiales; pudiendo ser mayor para seccio-nes con mayor rectangularidad.

5.CONCLUSIONES

  • 1. Las hojas de cálculo en MathCAD son un recur-so ventajoso para la solución de problemas de fle-xo-compresión biaxial pues combinan su sencillez y asequibilidad con un riguroso procedimiento para los cálculos, ofreciendo una respuesta racional y confiable.
  • 2.La variación del factor de reducción de la capacidad resistente de la sección f, en las secciones bajo la fle-xo-compresión axial añade un nuevo elemento a la compleja solución de este tipo de problema. Esta si-tuación se hace muy significativo para cargas me-nores que la balanceada cuando el valor de resulta mayor para momentos uniaxiales, Mnx o Mny =0, que para biaxiales
  • 3.En la aplicación del Método del Contorno de Carga debe tomarse en cuenta: a)Si bajo la acción de momentos uniaxiales, Mnox y Mnoy, la sección trabaja en la ZONA DE TRANSI-CIÓN, debe calcularse: b)Si bajo la acción de momentos uniaxiales, Mnoxy Mnoy, la sección trabaja en TRACCIÓN CON-TROLADA, debe calcularse:
  • Es una propuesta segura y no muy conservadora. 4.Los métodos aproximados deben emplearse con reservas y solo para soluciones preliminares, so-bre todo ante cargas axiales menores que la ba-lanceada.

6.REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

American Concrete Institute (2014). Requisitos del Reglamen-to para Concreto Estructural (ACI 318S-14) y Comentario (ACI 318SR-14). Detroit, MI (EE UU): American Concrete Institute (ACI).

Bresler, B. (1981). Concreto Reforzado en Ingeniería. México DF: Ed. LIMUSA.

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Jiménez Montoya y otros (2000). Hormigón Armado. Barcelo-na: Editorial Gustavo Gili, S.L.

Nilson, H.A., y Darwin, D. (1999). Diseño de Estructuras de Concreto. 11ª edición. Ed. McGraw Hill.

Nilson, H.A., y Darwin, D. (2004). Design of Concrete Structu-res. 13ª edición. Ed. McGraw Hill.

Park, R., y Paulay, T. (1979). Estructuras de Concreto Reforza-do. México DF: Ed. LIMUSA.

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