Resumen

A partir de la segunda mitad del siglo XX, particularmente debido al impulso dado por los avances científicos de la posguerra, apare- cieron ciertos “paradigmas cruciales”(Khun, 1971), que disputarían la supremacía del entendimiento de la naturaleza, en particular el des- cubrimiento del caos como manifestación de las inestabilidades no lineales en los sistemas dinámicos a escala humana (Prigogine, 1996), y la renuncia a la centenaria concepción aristotélica de la ciencia, que suponía que partiendo de las partes más básicas se podría construir todo el mecanismo superior (principio reduccionista).


Antes se aceptaba que los sistemas físicos reales, con pocos grados de libertad, eran por definición una explicación simple, determinista y reversible, y que la complejidad solo era un subproducto de nuestra limitación para desagregarla (Nicolis y Prigogine, 1997); y que la par- tición analítica consecutiva hacia lo más pequeño y esencial era un punto de partida seguro para entender fenómenos intrincados, como la turbulencia, por ejemplo. Nada más lejos de la realidad, como en su momento mostró el premio Nobel de 1977 P.W. Anderson (Anderson, 1972, 1995), quien acuñó el lema de la corriente construccionista (o “emergente”): “Más es diferente” (Miller, 2015). Con esta óptica, en este artículo se plantean ciertas funciones de naturaleza termodinámica, basadas en un conjunto pequeño de números nobles de naturaleza universal, que permiten mirar la turbulencia, la dispersión y el caos, de forma unitaria.

1. LA NUEVA FÍSICA Y LOS PROBLEMAS BÁSICOS DE LA TURBULENCIA: IRREVERSIBILIDAD MACROSCÓPICA Y MICROSCÓPICA. RÉGIMEN LINEAL DE LA TERMODINÁMICA IRREVERSIBLE

Como ya se ha mencionado, en décadas recientes se ha descubierto toda una serie de sistemas no-lineales que exhiben transición al caos mediante procesos universales y cuantitativamente mesurables. Estos descubrimientos se han hecho a partir de los avances en la teoría de transición de fase, que pueden dar una nueva visión sobre características críticas del desarrollo de la turbulencia. Este desarrollo ha sido guiado por el descubrimiento de un conjunto notable de números universales, que permiten hacer atisbos concretos en estos procesos altamente no-lineales, mediante la aplicación de métodos que describen el nacimiento de la turbulencia gracias a patrones de auto similitud a todas las escalas.

Esta nueva visión contrasta con los métodos tradicionales que incluyen movimientos perturbativos regulares de orden cero, como osciladores armónicos, ondas planas, o partículas libres, que constituyen la aproximación blanda a las soluciones buscadas, que en la aproximación dura tratan de resolver las ecuaciones diferenciales no-lineales mediante complejos modelos teóricos y un arsenal de programas sofisticados.

Desde mediados del siglo pasado, se ha explorado intensamente la relación entre irreversibilidad y dinámica, en un esfuerzo teórico novedoso por interpretar el papel del tiempo en tanto vector de irreversibilidad, y la íntima relación entre el carácter aleatorio del nivel microscópico de la materia y la propia irreversibilidad macroscópica (Stengers y Prigogine, 1983). Desde el nivel humano (macroscópico), la irreversibilidad puede representarse modernamente como la identificación de un término diferencial específico para la generación de entropía por procesos disipativos (componente interno) que se suma al componente externo, correspondiente al término diferencial entrópico que atraviesa (entrado o saliendo) el límite del sistema. Ambas componentes contribuyen a la variación total de la entropía.

La tasa de producción del componente interno, para los procesos irreversibles, se define como:

En el dominio de los procesos moleculares (nivel microscópico), la irreversibilidad, congruente con la generación de entropía se manifiesta como el resultado de procesos elementales de inestabilidad dinámica creciente, asociado con la aparición de acoplamientos resonantes entre los innumerables grados de libertad del sistema, que conducen a la divergencia de las trayectorias en el espacio de las fases, lo que ha sido descrito de manera clásica por los exponentes positivos de Liapunov. En este régimen, las trayectorias se convierten en un objeto físico intratable, admitiendo solo una descripción estadística de las distribuciones de probabilidad.

En un sistema abierto, con intercambios de energía y sustancia con el exterior, que avance cada vez más fuera del equilibrio, las múltiples fluctuaciones en su seno van a conducir a cascadas de bifurcaciones, que rompen la simetría temporal y conducen a fenómenos disipativos. Normalmente estas bifurcaciones van a estar sujetas a las leyes no-lineales que guían la dinámica del flujo real, introduciendo un elemento azaroso irreductible (probabilístico). En el caso de los flujos turbulentos, la propia naturaleza de la ecuación no-lineal de Navier-Stokes, aplicada sobre el dominio de los números reales, es lo que genera la divergencia de las trayectorias de las partículas del flujo, que se convierten en incomputables. Esto se denomina genéricamente “sensibilidad de las condiciones iniciales”. Este efecto es bien conocido y corresponde a que los números reales, y su representación física en el flujo, están compuestos por números racionales e irracionales que extienden al infinito sus cifras significativas. En una amplificación no-lineal de esta cadena de cifras, el resultado de las variables de interés (velocidad o presión, por ejemplo) se dispersa muy rápidamente.

La producción de entropía, σ, se define de manera general por el producto de una fuerza y un flujo termodinámicos, σ ≈ F * J . La fuerza (causa) genera el flujo (efecto). La fuerza se caracteriza generalmente por un gradiente de concentración, de carga eléctrica, etc., y el flujo como una tasa de transporte (de masa, de carga, etc.). En el régimen estricto de equilibrio, la producción de entropía y, por tanto, la fuerza y el flujo se anulan. En el régimen siguiente, cercano al equilibrio, denominado “lineal”, por cuanto hay proporcionalidad entre flujos y fuerzas, los sistemas físicos reales tienden a un estado estable, con una producción de entropía a un mínimo. En este régimen, la constante de proporcionalidad entre fuerza y flujo es “ a ”, y se admiten correlaciones espaciales nacientes sobre poblaciones moleculares enteras (Kondepudi y Prigogine, 1998).

En el régimen lejano del equilibrio, los procesos físicos se tornan más complejos, y la proporcionalidad entre fuerzas y flujos desaparece, y además se configuran fuertes correlaciones de largo alcance sobre las poblaciones lejanas.

De manera teórica (Mäkelä y Annila, 2010), un sistema irreversible en la termodinámica del no-equilibrio se define dentro del régimen lineal, o sea, que cumple la ecuación 3, si la energía libre, A, que define el proceso en cuestión, cumple la siguiente desigualdad con respecto a la energía térmica molecular de fondo, con R la constante de los gases y T, la temperatura.

A temperatura ambiente, con T≈300 K, y R≈8.314 (J/K*Mol) , la energía molar es RT≈2.5KJ/Mol , por lo que en general las reacciones químicas, con afinidades (o energías de activación) en el rango de 10-100 KJ/Mol , no cumplen con el criterio descrito en este artículo (A/RT<<1) sobre la pertenencia al régimen lineal de la termodinámica irreversible. Por el contrario, para un flujo de agua, dicha energía de activación molecular es ciertamente menor, W~0.550 KJ/Mol , es decir, que el agua en turbulencia está en un régimen decididamente más cercano al lineal (Frenkel, 1955).

2. VORTICIDAD: MODELO GENÉRICO DE APARICIÓN DE LA TURBULENCIA

La adopción generalizada del modelo de vórtice como elemento básico de la turbulencia (movimientos rotacionales del flujo) se fundamenta en el convencimiento de que responde al mecanismo simple de inestabilidad del fluido descrito por Kelvin-Helmholtz (Moffat, 1993). Estas inestabilidades aleatorias devienen de la interacción de capas de fluido con velocidades contrarias, generando un efecto de rozamiento por cizallamiento o cortadura ( shear ), que induce la deformación (A y B) y posterior ruptura del frente de interacción de las capas en línea gruesa, con velocidades contrarias que terminan en una vorticidad (movimiento rotacional del fluido), coincidiendo con las singularidades de la ecuación de Navier-Stokes, generando al final el enrollamiento de tal frente (C) (figura 1).

Figura 1. Generación de vórtices por mecanismo de inestabilidad de Kelvin-Helmholtz.

La forma espiral logarítmica en la que se convierte la singularidad es la vía que la naturaleza utiliza para optimizar el crecimiento de los procesos de inestabilidad en los flujos turbulentos, para cumplir con las leyes generales de la termodinámica. (Livio, 2002). Modernamente se asocia el segundo principio de la termodinámica, con el principio de mínima acción, es decir, con el mecanismo por el cual la dispersión de la energía libre ocurre en un tiempo mínimo. La sucesión de espirales generadas en este proceso puede entenderse, por tanto, como una dinámica de vórtices que se expanden en la turbulencia para cumplir con esta forma de empaquetamiento óptimo, gracias a la fluidez del agua, y que se puede modelar en la siguiente ecuación polar, en la que el radio ρ es la densidad de energía, y el ángulo θ indica la trayectoria geométrica que toma el menor tiempo para disipar esa energía. El parámetro a es la tasa de crecimiento de la espiral. La variación de ρ es geométrica, mientras que la variación de θ es aritmética (Maor, 1998).

Y, por tanto, en términos de razones y diferencias:

Para que tenga sentido el modelo físico, los ángulos de esta espiral logarítmica no varían arbitrariamente, sino en pasos normados proporcionalmente por el ángulo áureo, basado en la secuencia de Fibonacci, de tal forma que garanticen la autosimilitud y eficiencia en la estructura buscada, que se analiza a continuación.

3. PROCESOS DE DUPLICACIÓN DE PERIODO, LA SERIE DE FIBONACCI Y LA PROPORCIÓN ÁUREA

El desarrollo de M. Feingenbaum (Feingenbaum, 1978) sobre la dinámica de aparición y progreso de las bifurcaciones (generadas por inestabilidades) en sistemas físicos irreversibles, independientemente de los detalles específicos del mecanismo estudiado, reflejan de manera apropiada el avance hacia la complejidad caótica de tales sistemas. El sello de este proceso genérico es la operación de los mecanismos de ruptura de la simetría temporal mediante dos constantes universales. Para la turbulencia, el factor de amplificación de la variable dinámica (proporcional a la velocidad), α≈2.502907, y el factor de desfase de la variable de control (proporcional al número de Reynolds), δ≈4.669201.

La condición básica de aplicación de este mecanismo universal es que se aplique sobre funciones o distribuciones de un solo máximo. Para el caso de los procesos moleculares en los fluidos turbulentos, esta distribución no es diferente a la propia distribución normal. La justificación para esta afirmación es que la naturaleza estadística de la aparición, acoplamiento y propagación de los vórtices es un proceso totalmente aleatorio, cuya principal manifestación formal es esta distribución (ley de los grandes números). Hay que remarcar que la turbulencia no es solo una transición de Feingenbaum, sino muchas, de tal forma que la generación y mantenimiento de la cascada de torbellinos son acompañados de estas múltiples bifurcaciones. Las investigaciones sobre este proceso genérico indican que las secuencias que involucran a “α” están en función de la secuencia de Fibonacci, tal que el factor numérico de las bifurcaciones sucesivas se puede expresar en función de α y F(n) , el número de Fibonacci correspondiente a la posición “ n ” en la serie:

La llamada serie de Fibonacci, conocida desde hace siglos, y que ha tenido un significado especial en el desarrollo del arte y la geometría, se genera a partir de las siguientes pautas (Linage, Montoya y Sarmiento, 2006):

A.Cada número de la serie se define como la suma de los dos números previos:

B.La razón de los dos números consecutivos es igual a:

Esta razón, φ, es la llamada también “proporción áurea”, cuyo desarrollo en serie numérica, como serie de Fibonacci, es de forma aproximada: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Una de las características más notables de esta serie es que representa de manera directa un patrón geométrico que es propio de muchos procesos físicos y biológicos encontrados en la naturaleza. Por ejemplo, los meteorólogos han verificado que el patrón básico de corrientes en la atmósfera, y como se ha explicado anteriormente, se aplica bastante bien en la descripción del nacimiento y propagación de la turbulencia.

Es interesante tener en cuenta que la proporción áurea es el número más irracional que existe (Kac y Ulam, 1968), en el sentido de que su definición aproximada por una fracción racional se hace de manera más lenta y difícil, es decir, que toma un desarrollo más largo de sus cifras significativas seguras. Sumado a esto, y teniendo en cuenta las pautas A y B, se puede considerar que la proporción áurea y la serie de Fibonacci en conjunto son patrones numéricos que implican protocolos naturales muy eficientes, que toman el menor tiempo en construirse (al ser locales), para obtener sucesiones en los procesos físicos con la mayor densidad numérica posible.

4. ESTADO ESTABLE EN LOS CAUCES NATURALES Y LA TURBULENCIA EN LA REGIÓN LINEAL DE LA TERMODINÁMICA IRREVERSIBLE

Además de la acotación teórica de la condición suave-lineal termodinámica, establecida en el Apartado 1, es interesante examinar las pistas que se pueden encontrar en la práctica sobre esta pretendida condición de la turbulencia. Entonces, las condiciones de estado estable (Leopold, 1953) en los cauces naturales, que implican que haya un mantenimiento estadístico de sus características geométricas, dinámicas y geomorfológicas, nos hacen sospechar que, pese a que se observan innumerables inestabilidades y variaciones de los valores de la geomorfología, las fluctuaciones de la velocidad se mantienen controladas, al punto que el sistema fluvial, considerado en su conjunto, no alcanza el estado completamente caótico, en el que el régimen termodinámico es decididamente no-lineal, o sea, catastrófico. El flujo turbulento normal está entonces entre el flujo laminar y el flujo heterogéneo, pero sin traspasar este límite superior, en una gran mayoría de casos. Prueba de esto es que la dispersión, descrita como el proceso de mezcla de las partículas de los trazadores por la turbulencia, presenta una naturaleza lineal en su expresión básica (ley de Fick), como se sugiere en la figura 2.

Figura 2. Proceso de mezcla de las partículas de trazador por la turbulencia.

Aunque se podría decir que el proceso de mezcla mostrada se debe fundamentalmente a los efectos cortantes del flujo, entendido este como un mecanismo aleatorio de separación de las partículas, al final la naturaleza del flujo no-laminar se debe fundamentalmente a la transformación del flujo ordenado a un movimiento muy complejo, heterogéneo, precisamente por la turbulencia. Es entonces imposible escindir el mecanismo de mezcla azarosa de la turbulencia en su componente cortante de lo que no lo es, tan así es esta realidad, que las partículas de trazador se imbrican íntimamente en las del flujo, sin que puedan separarse. La naturaleza termodinámica lineal de la dispersión y, por extensión, de la turbulencia se comprueba al recordar que en este efecto de transporte molecular muestra una proporcionalidad simple entre su fuerza termodinámica (gradiente de concentración), y su flujo termodinámico (tasa de transporte de masa), como se evidencia en la ley básica de Fick (French, 1987).

El miembro izquierdo es el flujo termodinámico consistente en la tasa de transporte masa del proceso, mientras que el miembro derecho es la fuerza termodinámica, consistente en el gradiente de concentración. Esta ecuación corresponde a la declaración de la proporcionalidad entre la fuerza y el flujo termodinámicos para este fenómeno tan cercano a la propia turbulencia. Sería muy extraño que la turbulencia no fuese un fenómeno termodinámico lineal siéndolo la dispersión. Una característica interesante de la turbulencia, en este punto del análisis, es como ya se ha advertido, muestra de manera evidente las correlaciones macroscópicas de los movimientos de sus fletes de flujo, que no es totalmente lineal, pero no del todo disipativo, caótico, lejano del equilibrio.

5. CONSECUENCIAS DE LA CONJETURA DE LINEALIDAD PARA LA TURBULENCIA: PRINCIPIOS DE PRANDTL Y LEOPOLD EN LA HIDRODINÁMICA

De acuerdo con el teorema de 1945 de I. Prigogine (Leopold y Langbein, 1962), la condición de estado estable para un sistema abierto, en la región irreversible de la Termodinámica (cercana al equilibrio), implica no solo que las fuerzas y los flujos termodinámicos sean proporcionales, sino también que la producción de entropía, σ, según la ecuación 2, sea un mínimo. Como un mínimo de producción de entropía implica un máximo de entropía, de acuerdo con la definición estadística de L. Boltzmann, se puede asumir que los eventos discretos dentro del sistema son equiprobables, es decir, sus probabilidades son equivalentes. Aplicado este teorema a un flujo natural en equilibrio dinámico, se puede proponer que, en virtud de la condición anterior, las tasas de transporte de masa entre puntos del sistema son equivalentes (Constaín y Corredor, 2015) y que, por tanto, la velocidad media del flujo es estadísticamente constante (no obstante de la disminución sistemática de la pendiente en su curso). Esta constancia de la velocidad media de un flujo natural en equilibrio dinámico ya había sido intuida por L. Leopold, quien postuló el principio de que “la velocidad media de un cauce natural es coincidente tanto en su nacimiento como en su delta”. Y, utilizando datos de 50 años del USGS para 6.000 estaciones de hidrometría en Norteamérica, estableció la relación potencial de dicha velocidad en función del caudal de la siguiente forma:

El hecho de que las constantes involucradas, 1.3 y 0.1 sean pequeñas, indica que su peso estadístico en la injerencia del caudal (significativo en frecuencia), Q, es realmente pequeña, en consonancia con el principio de Leopold, y que las variaciones de caudal (que usualmente aumenta al progresar el curso del cauce) son compatibles con las modificaciones subsecuentes del estado estable del flujo. Por otro lado, tal como estableció L. Prandtl en su momento (Nekrasov, 1968), la velocidad media del flujo se mantiene estadísticamente constante no solo en el sentido longitudinal, sino también en el sentido transversal, más local, teniendo una distribución logarítmica bastante plana en su mayor parte, excepto en los bordes cerca de las orillas. Estos resultados serían independientes y casos particulares a no ser por la obligación de que los flujos naturales deben obedecer no solo las leyes dinámicas, sino, y sobre todo, a leyes termodinámicas en su configuración.

6. TURBULENCIA Y DISPERSIÓN COMO FENÓMENOS COMPLEMENTARIOS

Ya se mencionó la relación que existe entre la turbulencia y la dispersión en tanto fenómenos de mezcla, y que los trazadores (como tintas marcadoras) develan visualmente los movimientos complejos y heterogéneos del flujo, en los que la turbulencia y la dispersión aparentan ser lo mismo. Esta apreciación es bastante justa, pues aparte del aspecto visual del trazador, que permite identificar filetes de flujo de la tinta, el propio líquido (agua), así no se distinga de forma tan clara, también sufre de la misma dispersión, o sea, la propiedad del movimiento heterogéneo de extenderse en el espacio. El coeficiente de transporte en la ecuación de Fick cuantifica esta propiedad. Aunque haya esta gran similitud entre estos dos conceptos, hay también grandes diferencias, la mayor de ella es la naturaleza matemática de la ecuación guía de cada una de ellas. La ecuación de Navier-Stokes es una ecuación diferencial parcial no-lineal, cuya solución completa no ha sido obtenida aún. La ecuación de Fick es una ecuación diferencial parcial lineal, que tiene su versión integral ya resuelta. La primera conlleva la acción de las singularidades que conllevan las fluctuaciones de velocidad que originan las bifurcaciones y los vórtices que se propagan en cascada por el flujo, la segunda conlleva la información de los mecanismos de la dispersión de la energía en volúmenes crecientes. Mientras que la turbulencia propicia la tendencia hacia el caos completo, la dispersión tiende a mitigar su acción. Teniendo en cuenta estos dos efectos contrarios, I. Prigogine señala una ecuación que define la longitud que se mantiene una correlación espacial en un flujo turbulento:

Aquí γ es el la tasa de atenuación de la turbulencia, la cual es menor en tanto la turbulencia aumenta. Para una tasa de crecimiento sin límite, γ≈0 , la Longitud de correlación tiende a ser muy grande. En el caso real de la turbulencia dentro del régimen “lineal” de la termodinámica irreversible, esta distancia es del mismo orden de las distancias características del mismo flujo.

7. FUNDAMENTOS DE LA EVOLUCIÓN DE LOS TRAZADORES

La ley de Fick (ecuación 7), se aplica a describir la dinámica de los trazadores evolucionando en un flujo turbulento, con σt como la desviación típica de la curva fickiana que resulta de su evolución (figura 3).

Figura 3. Curva gaussiana en función del tiempo.

Además, la dinámica de los trazadores conservativos en los flujos turbulentos, aparte de ser normada por las leyes de la dinámica, puede ser interpretada por los principios de la termodinámica, en especial el segundo que tiene una presencia universal en los procesos reales. Pocos, por no decir casi ninguno de estos sistemas, adolecen de los llamados “potenciales termodinámicos”, que, aunque definidos propiamente en la Termodinámica del equilibrio, su aplicación a los sistemas irreversibles es muy pertinente y oportuna, pues la perdida de grados de libertad notables que ocurren en estos ambientes reales es definida con precisión por estos. Su definición de “potencial termodinámico”, Φ (U, E, t) está de acuerdo con la condición de Schwartz (Pogliani y Barberan-Santos, 2000):

Y, en concreto, suponiendo desplazamientos totalmente aleatorio unidimensionales ( brownianos ), donde U es la velocidad media del flujo en el que evoluciona, E es el coeficiente longitudinal de transporte dispersivo, τ, el tiempo característico del transporte difusivo, y t es el tiempo como variable independiente. Haciendo el reemplazo k ≈ t/σt , se tiene:

Si se toma el origen como punto de inyección del trazador, se inicia un segmento de gran pendiente que sube hasta un valor máximo Φ≈2.1609 (k=1) , que corresponde a la condición extrema del trazador, que corresponde a t ≈ σt , donde no hay más excedente de tiempo para acoger la curva. Para visualizar adecuadamente la curva en función del número de veces que la desviación estándar está en el tiempo transcurrido, se pone en función de k=t/σt (Constaín, 2012) (figura 4).

Aquí es necesario aclarar que mientras t es el tiempo general (variable independiente), τ es un tiempo particular, especifico, asociado con el conteo de las partículas de trazador que se van dispersando en el sistema completo. Matemáticamente este proceso de conteo se puede hacer mediante un proceso acumulativo de Poisson:

Aquí “ a ” es igual a la llamada constante de Svedberg, hallada en los experimentos de conteo de partículas coloidales en equilibrio, que realizo este científico, hallando un valor promedio: ≈1.54 partículas/división. Por lo tanto, en el límite:

Se puede ver que este valor en realidad es la constante de Feingenbaum, normando un típico proceso paulatino de desperdigamiento de las partículas de trazador, muestra también un fenómeno de “anidamiento” cada vez más pequeño alrededor de un valor numérico notable. Así también toma relevancia la ecuación 16, que liga la naturaleza browniana de la dispersión con la geometría autosimilar (fractal) de su movimiento, que se manifiesta en todas las escalas.

8. TIEMPOS DE RESIDENCIA EN LA DIFUSIÓN DE LAS PARTÍCULAS BROWNIANAS, DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y CONSTANTE DE SVEDBERG

En términos generales, un tiempo de residencia hace referencia al tiempo de exploración de un grupo de partículas difusivas en un volumen determinado, restringido por las condiciones dinámicas del proceso (Constaín, Peña-Guzmán, Mesa y Acebedo, 2014). En particular, para un grupo de partículas de trazador, el tiempo de residencia específico se puede definir de la siguiente forma (Von Mises, 1981):

El subíndice “ r ” es el ámbito especial en el cual se calcula la dinámica del grupo de partículas, delimitado por los tiempos “ a ” y “ b ”, y C (*) es un valor notable de la concentración.

En particular, en una situación inicial, más allá de la dificultad de establecer los mecanismos precisos que actúan, se puede definir el rango ( a, b ) como (-σ, +σ), y considerar que el sistema está cercano al equilibrio, y que es descrito por la distribución de Poisson y, por tanto, el valor notable de concentración es igual al promedio, C (*) ≈ . Por tanto, en un ámbito “ r ”≈” σ ”, y es descrito por la figura 5.

Figura 5. Ámbito del cálculo del tiempo característico a (-σ y +σ).

Una situación final, correspondiendo al tiempo de residencia entre los límites -∞ y +∞, o sea, un “ámbito” r =∞, de acuerdo con la siguiente ecuación:

En este cálculo no es realista calcular a infinitos. A efectos prácticos, es suficiente incluir hasta un 0.997 del área bajo la curva, es decir un Δσ ≈4√2≈ 5.66 (figura 6).

Figura 6. Ámbito del cálculo del tiempo característico a (-4√2*σ y +4√2*σ).

En este cálculo, además, es conveniente poner C (*) ≈ Cp , ya que θ σ y θ ∞ deben ser por lo menos del mismo orden, pues la dinámica total involucra cada vez menos y menos partículas, y C (*) debe aumentar con respecto al valor medio , y esta consideración sobre los valores es la única que permite que así sea.

Una forma compacta de apreciar el desarrollo de la dinámica browniana de una nube de trazador en un flujo turbulento es plantear la razón, r, entre los tiempos de residen+ci𝜎𝜎a al inicio y al final:

Reordenando el miembro derecho:

Ahora, la razón de concentraciones notables del denominador se puede interpretar como sigue, a partir de la función error:

Por tanto:

Este valor numérico aproximado, establecido mediante planteamientos teóricos, va a aparecer como un resultado experimental notable en las investigaciones de T. Svedberg, tal y como señala R. Von Mises. Así, a principios del siglo pasado, este científico nórdico realizó una serie de observaciones al microscopio sobre la distribución espacial de partículas coloidales, obteniendo la tabla 1 de resultados.

En la primera columna se muestran los posibles resultados en número de partículas; en la segunda, el número de gratículas con el número específico de partículas; en la tercera, la frecuencia relativa; y en la cuarta, las probabilidades de cada evento calculadas con la distribución de Poisson, que se ajustan bastante bien con la frecuencia relativa de los eventos. El promedio de Svedberg de casos por gratículas se calcula, a partir de la información de las observaciones en el cuadro, de la siguiente manera:

Este mecanismo descubierto por Svedberg está de acuerdo con lo expuesto en la ecuación 16, donde a ≈λ, se aplica aquí a la razón t /τ (Constaín y Lemos, 2011):

Por tanto, en el límite:

La distribución de las partículas coloidales en las gratículas del porta-objetivo del microscopio de Svedberg es en realidad un proceso de dispersión browniano , cumpliendo con todas las características de este tipo de movimiento, idealmente difundiéndose desde un punto central hacia la periferia.

Habrá cuadros que contengan unas pocas partículas, cuadros con una sola partícula y otros sin ninguna. Su distribución corresponderá al conjunto en equilibrio de fuerzas térmicas y eléctricas que juegan allí, pero también por lo exigido por la distribución de Poisson, que exige la aleatoriedad en la ubicación. Desde esta óptica, el valor de λ≈ 1.54 es una característica browniana omnipresente, y muy probablemente aparecerá en otros fenómenos naturales de esta característica.

9. NATURALEZA SIMPLE, FRACTAL DE LA TURBULENCIA Y LA REALIDAD INCOMPUTABLE DE LO NO-LINEAL: LO QUE HAY DETRÁS DE LA REALIDAD

La visión moderna de la realidad física es, por tanto, una gran paradoja que aúna aspectos aparentemente simples y directos y otros muy complejos, difíciles de imaginar. Por una parte, se nos presentan mecanismos elementales, de suma eficiencia, que impiden el gasto exagerado de códigos de construcción y desarrollo (principio de la mínima acción), como por ejemplo los mecanismos de auto similitud fractal. Pero, por otra, se encuentran fenómenos intratables (incomputables) que nacen no solo en la no-linealidad de las ecuaciones utilizadas, como la de Navier-Stokes, que actúa esencialmente en parcelas microscópicas, amplificando valores muy irracionales del dominio de la velocidad (sensibilidad a las condiciones iniciales), sino, también, los que se manifiestan a nivel macroscópico, como por ejemplo la no proporcionalidad entre fuerzas y flujos termodinámicos, que en realidad significa una realimentación positiva entre ellas. Este mecanismo impide saber cuál alternativa dinámica tomara en cada instante el sistema, por lo que los procesos de evolución de los sistemas irreversibles caóticos son inherentemente aleatorios.

En el régimen irreversible cercano al equilibrio, o lineal, es paradójico que estas dificultades de inteligibilidad y cálculo no impidan que, por ejemplo, la velocidad media del flujo sea un valor muy predecible, gracias a la equiprobabilidad.

No obstante lo asimétrico entre un modelo y otro, lo asombroso es que ambos se puedan acoplar como un todo (independientemente de sus detalles) a partir de la interacción de un conjunto muy reducido de constantes, llamadas “números nobles”, que juegan igual en todas las escalas del fenómeno. Tal puede ser el papel de una función que involucre dichos números, en la que la dispersión y turbulencia en una secuencia habrán de investigarse posteriormente. Esos números clave son la constante de Svedberg, a≈1.54 , la proporción áurea, φ≈1.618 , y las dos constantes de Feingenbaum, α≈2.503 y δ≈4.669 .

La dispersión de una tinta trazadora (figura 2), en un flujo turbulento, es un reflejo esencial de los mecanismos de mezcla de la turbulencia y, por tanto, participa de las leyes físicas que la determinan. La dispersión tiene como una característica propia su naturaleza temporal, en tanto la curva fickiana tiende a la extinción, reflejando por su lado la tendencia general de la naturaleza al gasto de la energía libre y de la diseminación de la energía en el menor tiempo posible (Makela y Annila, 2010) (Annila y Salthe, 2010).

10. LA FUNCIÓN DE POTENCIA QUE ENGLOBA LOS VALORES NOTABLES DE LA DISPERSIÓN Y LA TURBULENCIA

Aunque han aparecido en diferentes espacios de este documento, no sobra dar una definición de lo que puede entenderse como números nobles. De acuerdo con lo expuesto por Barrow en su texto sobre las constantes de la naturaleza (Barrow, 2004) (Davies, 1985), éstas deben ser en lo posible conceptos no antropocéntricos y corresponder a atributos universales de la realidad física. Esto implica poner en juego conceptos como “simetrías” físicas y matemáticas, y propiedades “intrínsecas” e invariantes, preferiblemente adimensionales. Lo anterior excluye aquellos estándares que son arbitrariamente escogidos (como el metro, el kilogramo o el segundo) que son dependientes de la temperatura o la presión. Con mayor justicia se puede considerar que a, φ, α, δ , son números nobles en ese sentido.

El paso siguiente es proponer una expresión matemática que represente apropiadamente diversas escalas, como por ejemplo una ley de potencias (Chen, 2013) (Newman, 2005) que pueda involucrar de manera coherente los diversos números mencionados. Con esta óptica, se puede plantear una función f (Ф, k) para buscar algunas interrelaciones entre la dispersión y la turbulencia, de naturaleza heurística, a partir de la función de estado, Φ (k ):

La función b (k) , para que tenga sentido en el análisis que se plantea, debe variar entre un valor superior positivo, igual a +2.0 , y un valor negativo inferior, igual a -0.50 . Esa función tiene a siguiente expresión polinómica aproximada:

Esta función polinomial tiene la forma que se representa en la figura 7, puntualizando que, siendo esta función un exponente, los valores fraccionarios corresponden a la operación de sacar raíz, y que los exponentes negativos implican sacar inverso.

Figura 7. Naturaleza del exponente X (k).

Se pueden ahora representar gráficamente en la figura 8, tanto la función (azul) origen, Φ (k), como la función asociada (gris), Φ (k) x (k) .

Figura 8. Función de potencia derivada de la función de estado.

La función de estado cubre desde el momento de la inyección del trazador ( k=1.0 ) hasta cuando el trazador ha perdido el grado de libertad transversal, tras cubrir homogéneamente la sección transversal del tubo de corriente del flujo ( k≈4*√2 ). La función de potencia coincide con la función generatriz, cuando k≈2.50 , es decir, coincidente aproximadamente con α. Esta y otras características de la función de potencia y la función de estado se resumen en la tabla 2.

Tabla 2. Características notables de las curvas estudiadas

Una interpretación del cuadro de valores en la tabla 2 es que la función de potencia cubre tanto la dispersión (extremo izquierdo) como la turbulencia (extremo derecho), en función de los números notables correspondientes. Para analizar esto se calcula Φ (k ) para valores notables de “k”: k=1, k=2.50 y k= 4√2 , usando la ecuación 14. Los ajustes de las cifras decimales no son exactos, en tanto tampoco lo son los valores de las constantes ni sus razones.

A.Para el extremo izquierdo, la Función potencial se calcula para k=1.0 , o sea, para t/σ=1.0 . Es decir, la función de estado elevada al exponente 2, obteniendo:

B.Para la zona media, de transición, la función potencial se calcula para k=2.50 , o sea, para t/σ≈2.50 . Es decir, la función de estado elevada al exponente 1.0, obteniendo:

C.Para el extremo izquierdo, la función potencial se calcula para k≈4√2 , o sea, para t/σ≈4√2 . Es decir, la función de estado elevada al exponente -0.5, obteniendo:

También se puede involucrar a la constante de Svedberg, a≈1.54 , de la siguiente manera:

La función de potencia estudiada muestra entonces la evolución de la dispersión hacia la turbulencia, pasando por una etapa intermedia, en la que se entremezclan. Esta evolución, que evidentemente es irreversible, está guiada por los números nobles de una y otra manifestación dinámica, y además se evidencia la naturaleza browniana ( gaussiana ) de los procesos.

En particular, las dos constantes de Feingenbaum se pueden también expresar no en un contexto de replicaciones infinitas de procesos fractales a un nivel básico y puramente matemático, sino en uno más cercano por su proximidad experimental relacionado con la dispersión los trazadores fickianos . La constante δ se desarrolla en un contexto temporal, involucrando el tiempo característico de la dispersión. Igual la constante α, involucrando la desviación típica del fenómeno. El número dorado, φ, aparece cuando la dispersión se acopla enteramente a la turbulencia, cuando el trazador avanza en condición de mezcla ideal.

11. CONCLUSIONES

  1. Con una visión no-reduccionista de los fenómenos físicos, en este artículo se analiza la dinámica dispersiva de los trazadores y su acople con la turbulencia, interpretada no como un desarrollo estricto (y muy difícil) de la mecánica del punto, basada en ecuaciones diferenciales no-lineales, sino con base en la actuación, en todas las escalas, de un conjunto limitado de números nobles, los cuales se acoplan en una ley potencial. Este enfoque permite vislumbrar principios unificadores, difícilmente observables con el enfoque clásico-reduccionista. Estos principios enlazan mecanismos progresivos entre escalas, por ejemplo la dispersión y la turbulencia, que se caracterizan por dos diferentes números de replicación.
  2. La turbulencia se modela básicamente con poblaciones sucesivas de vórtices, cuya naturaleza facilita la dispersión de la energía en el menor tiempo posible (principio de mínima acción). Estos vórtices, que se originan en las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz (y en singularidades de Navier-Stokes) obedecen a modelos del tipo espiral logarítmica, que se propagan mediante mecanismos optimizados de series de Fibonacci (y la razón áurea).
  3. Los fenómenos turbulentos son esencialmente irreversibles y, por tanto, con producción de entropía, pero en las condiciones normales o lineales (cerca del equilibrio) esta producción toma un valor mínimo, que implica una condición aproximada de equiprobabilidad, obligando a que parámetros como la velocidad media de los flujos naturales, tengan una invariabilidad estadística, tal como ha sido verificado experimentalmente.
  4. La función de estado, Φ (E, U, t) , propuesta para describir la evolución de los trazadores en flujos turbulentos, y que le confiere al transporte de masa una naturaleza dependiente del tiempo (lo que implica tener parámetros σ y E como funciones del tiempo), logra explicar tanto las largas colas de las distribuciones reales de trazador, como la dependencia experimental del coeficiente de difusión proporcional al tiempo (y no con la raíz del tiempo). Esta distribución en la práctica comienza cuando el tiempo es igual a una desviación típica de la curva fickiana, (k=t/σ=1) y se extiende hasta cuando esta razón vale k=4√2 , cuando la masa del trazador está disponible en un 99,7 %.
  5. A partir de esta función es posible construir una función de potencias con significación para el estudio del acople paulatino de las partículas de trazador a la turbulencia, desde el mínimo k=1 hasta k=4√2 , pasando por una región de transición, en la que dicha función (generatriz) y la ley de potencia coinciden, para luego volver a separarse. La característica de esta ley de potencia es que su exponente, que afecta a Φ (k) , es también una función de k . Esta nueva función contiene en su desarrollo tres números notables: δ al principio, α en el medio, y ψ al final. Esta secuencia corresponde al inicio de la dispersión, donde predomina la dinámica basada en intercambio de impulso, sigue la región de transición, y termina con la región de predominio de la turbulencia. Asimismo, en este desarrollo aparece el número de Svedberg, como manifestación fundamental de la naturaleza browniana ( gaussiana ) de estos fenómenos.
  6. Aunque la esencia misma de la turbulencia permanece incógnita, su relación con la dispersión puede aportar ciertas pistas para su entendimiento, particularmente si se tienen en cuenta los métodos de análisis no-reduccionista.

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