Resumen

La variabilidad e incertidumbre de las propiedades de suelos y rocas es un aspecto a tener en cuenta en ingeniería geotécnica, y existe actualmente una tendencia en algunas normativas internacionales del campo geotécnico, como el Eurocódigo, por ejemplo, a considerar la posible aplicación de técnicas estadísticas para la estimación de algunos parámetros. En este trabajo se han recopilado un gran número de datos de ensayos realizados en diferentes tipos de roca en el Laboratorio de Geotecnia del CEDEX en los últimos diez años y se realiza un análisis estadístico de algunos parámetros geotécnicos a partir de la base de datos creada. Más concretamente, se realiza un análisis exploratorio de los datos, una división en subconjuntos de acuerdo a diferentes criterios, un ajuste de las distribuciones que mejor se adecúan a los datos y una aproximación a los valores característicos de los parámetros para los diversos subconjuntos, utilizando las técnicas estadísticas. En este artículo se presenta un resumen del trabajo realizado, con los resultados más destacados. No pretende ser un estudio riguroso de valores, ya que se han considerado conjuntamente datos de una gran variedad de rocas, sino únicamente una aproximación a un análisis exploratorio de un conjunto muy extenso y muy heterogéneo de datos, con una estimación de unos intervalos de confianza de los valores medios, que si bien no son precisos, se considera que pueden ser útiles para dar una idea del orden de magnitud de sus valores. Palabras clave: parámetro geotécnico, parámetros matriz rocosa, valor característico, estadístico, Eurocódigo

1. INTRODUCCIÓN

Este análisis se ha realizado tomando numerosos resul-tados de ensayos recogidos de diferentes trabajos llevados a cabo en el Laboratorio de Geotecnia del Centro de Es-tudios y de Experimentación de Obras Públicas (CEDEX) en los últimos diez años, para poder crear una base de da-tos adecuada. Como objetivo general este trabajo se pro-pone analizar un gran número de resultados de ensayos de laboratorio realizados sobre testigos de roca haciendo uso de técnicas estadísticas, para tratar de obtener algu-na conclusión útil acerca de los parámetros geotécnicos considerados, así como de la metodología a aplicar para su análisis.

Una de las formas de diseño habituales en la geotecnia es mediante cálculo, lo que, de acuerdo con el Eurocódi-go 7 (EN-1997-1) implica la definición de las propieda-des de suelos y/o rocas afectados, así como de las acciones de cálculo, de los datos geométricos, de las limitaciones de movimientos, vibraciones, etc. y del modelo de cálculo. La definición de las propiedades de suelos y/o rocas se rea-liza definiendo los valores característicos de sus paráme-tros geotécnicos, que “se debe basar en resultados y valores deducidos en laboratorio y estudiosde campo, comple-mentados con la experiencia”. Por otra parte, el valor carac-terístico de un parámetro geotécnico “se debe seleccionar con una estimación prudente del valor que produce la apa-rición del estado límite”. De acuerdo con Schneider and Fit-ze (2013), dicho estado límite suele afectar a una zona de terreno mucho mayor que una muestra de suelo o roca en-sayada en laboratorio o afectada por un ensayo in situ. Por tanto, para definir un determinado parámetro se debe con-siderar un valor medio de un rango de valores, cubriendo un amplio volumen o superficie de terreno. El valor carac-terístico debería ser, entonces, una estimación prudente de ese valor medio. Si se emplean métodos estadísticos, la pro-babilidad de obtener un valor más desfavorable debe ser inferior al 5%

Si bien es un hecho conocido que en la mayoría de los macizos rocosos el comportamiento geomecánico suele es-tar gobernado por las características de las discontinuida-des, casi siempre existentes, es también necesario evaluar las características geotécnicas de la roca matriz, lo que se realiza extrayendo testigos de roca que se ensayan en la-boratorio

En la práctica, suelen presentarse dificultades para la evaluación de los parámetros geotécnicos de la ma-triz rocosa que se incluyen en los cálculos y diseños, de-bido a la gran dispersión en los resultados obtenidos. Si se acepta una naturaleza estocástica de las propiedades físicas y mecánicas de la roca, parece razonable abordar la estimación de los parámetros geotécnicos a través de técnicas estadísticas, donde se busca: a) conocer la fun-ción de distribución de probabilidad a la que se ajusta cada variable o parámetro; b) estimar los denominados valores característicos de las propiedades del terreno para un determinado nivel de confianza; c) identificar correlaciones entre diferentes parámetros. No obstan-te, la incertidumbre asociada a la determinación de pro-piedades geotécnicas no sólo se debe a su variabilidad aleatoria sino también a otros aspectos, como puede ser imprecisión en la medida

Debido a que no se está analizando una Unidad Geo-técnica en particular y tampoco un Proyecto Geotécnico en concreto, sino un conjunto de observaciones de rocas obtenidas de distintas puntos del mapa geográfico de Es-paña, este trabajo no pretende ser un estudio riguroso de valores, ya que se han considerado conjuntamente datos de una gran variedad de rocas. Se trata de una aproximación a un análisis exploratorio de un conjunto muy extenso pero muy heterogéneo de datos. Por tanto, los intervalos de con-fianza que se han estimado no son rigurosos, aunque pue-den ser útiles para dar una idea del orden de magnitud de sus valores.

2. METODOLOGÍA DEL ESTUDIO REALIZADO

Para el presente trabajo se han considerado sólo rocas con resistencia a compresión simple superior a 1 MPa, de acuerdo con el criterio de la ISRM (1981). La muestra la conforman resultados de ensayos sobre 728 testigos de ro-cas ensayadas en el Laboratorio de Geotecnia del CEDEX. La población que se intenta inferir, es decir, de la cual se quiere estimar parámetros geotécnicos, sería en principio todas las rocas que conforman el mapa geológico de España.

Para todo el análisis estadístico realizado se han utili-zado tanto el software R-Studio como el Statgraphics Cen-turion XVII, pues ambos proporcionan un entorno de trabajo especialmente preparado para el análisis estadístico de datos.

El punto de partida ha sido la construcción de una ma-triz de datos compuesta por las variables consideradas más relevantes para cada observación de roca. Se han conside-rado las 16 variables numéricas y las 8 variables categóricas que se indican en la figura 1.

El proceso llevado a cabo ha sido el siguiente:

  1. En primer lugar se ha realizado un análisis explora-torio de los datos, con: Obtención de los estadísticos de la muestra; Verificación de correlaciones entre variables; Creación de grupos o subconjuntos de acuerdo a distintos criterios y análisis de los mismos; Análisis de variabilidad entre los grupos o sub-conjuntos.
  2. Además, para cada uno de estos subconjuntos se ha realizado: Una determinación de las funciones de distri-bución de probabilidad a las que se ajustan al-gunas variables, verificando la bondad de los ajustes; Una aproximación a la obtención de los valores característicos de estos parámetros geotécnicos.

Por limitaciones de espacio sólo se presentan a conti-nuación algunos de los resultados más relevantes del estu-dio. Crisóstomo Masetto (2015) presenta un estudio más amplio, si bien con una base de datos más limitada que la utilizada en este análisis.

3. ANÁLISIS DE LOS DATOS

3.1. Análisis exploratorio de los datos:

Se conoce como parámetro a la cantidad numéri-ca calculada sobre una población, y como estadístico a la cantidad numérica calculada sobre una muestra. Los esta-dísticos calculados han sido:

  1. Medidas de centralización: Media, mediana.
  2. Medidas de dispersión: Rango, rango inter-cuar-til, varianza, desviación estándar (SD) y coefi-ciente de variación

Se ha creado una tabla con los estadísticos de la mues-tra conjunta, para cada una de las variables a evaluar. Las principales variables evaluadas han sido las siguientes: peso específico seco, porosidad absoluta, velocidades de onda tanto longitudinales como de corte, porcentajes de óxidos de calcio y de sílice, resistencia a compresión simple y módulo de deformación, definido como la pendiente de la parte lineal de las curvas tensión-deformación en com-presión simple. A continuación se presenta un resumen del análisis conjunto de todos los datos:

Figura 1.Variables evaluadas

Figura 2.Estadísticos del peso específico seco.

Figura 3.Estadísticos de la porosidad absoluta

Figura 4. Estadísticos de la velocidad longitudinal.

Figura 5.Estadísticos de la velocidad de corte.

Figura 6.Estadísticos del porcentaje de CaO.

Figura 7.Estadísticos del porcentaje de SiO2

Figura 8.Estadísticos de la resistencia a compresión simple (RCS).

Figura 9.Estadísticos del módulo de deformación.

En algunas de las gráficas se observan al menos dos conjuntos claramente diferentes, como en el peso espe-cífico seco, con rango de valores y desviación distintos, correspondiendo el de menores valores al grupo de los pi-roclastos volcánicos, de baja densidad en general. También se aprecian al menos dos grupos al observar los porcentajes de óxido de calcio y de sílice.

3.2. Correlaciones

En el gráfico de la figura 10 se puede apreciar visual-mente las variables que presentan correlación entre sí. Se han distinguido los subgrupos que se definen en el siguien-te apartado.

Se observa que existen correlaciones apreciables entre varias variables. Su estudio no se incluye en este artículo por limitaciones de espacio. Estas correlaciones, así como otras incluyendo más parámetros, han sido ampliamente estudiadas por diversos autores para diferentes tipos de ro-cas (e.g., Kahraman (2001), Yasar and Erdogan (2004), Ka-rakus et al. (2005), Kiliç and Teymen (2008)).

Figura 10.Visualización de las correlaciones entre variables (subconjuntos definidos en el apartado 3.3).

3.3. Subconjuntos

3.3.1. Análisis de conglomerados

Se han analizado diferentes subconjuntos con el fin de separar la muestra en grupos con resultados más simila-res entre sí.

En primer lugar se ha realizado un análisis de conglome-rados (“clustering”), que es un procedimiento estadístico que trata de organizar los datos en grupos relativamente homo-géneos a los que se denomina conglomerados, pero dejando que se vayan agrupando por sí solos los datos más cercanos entre sí. Es decir, no se establece a priori un criterio de agru-pación. Para ello se eligen una serie de variables, que pueden ser todas las recopiladas o sólo algunas, y se define una me-dida de asociación que refleje la similitud entre las observa-ciones de que se dispone. En el caso estudiado se definió una distancia Euclídea y se realizó el análisis mediante diferen-tes técnicas de agrupación de las múltiples disponibles en el programa. Debido a la gran heterogeneidad de los datos no se han podido obtener por el momento unos subconjuntos claros mediante esta técnica de análisis, si bien es una vía que conviene seguir estudiando.

3.3.2. Definición de grupos a priori

Se ha procedido, por tanto, a la división de diferentes subconjuntos de acuerdo a criterios que tienen en cuenta diferencias establecidas a priori. En concreto se conside-raron los subconjuntos recogidos en la tabla 1. Además, se han estudiado otras agrupaciones, cuyos resultados no se incluyen por limitaciones de espacio (principalmente por grupo, por el tamaño de grano o por el mayor porcentaje de contenido mineral CaO ó SiO2).

A continuación se muestran algunos de los resultados obtenidos para los subconjuntos de los tipos de roca (figu-ra 11 a 16) y de la resistencia a compresión simple (RCS) (fi-gura 17 a 21)

Tabla 1. Algunos subconjuntos estudiados

Figura 11.Gráficos de caja del peso específico seco (kN/m3) por tipo de roca.

Figura 12.Gráficos de caja de la porosidad absoluta (%) por tipo de roca.

Figura 13.Gráficos de caja de la velocidad de ondas de corte (m/s) por tipo de roca.

Figura 14.Gráficos de caja de la velocidad de ondas longitudinales (m/s) por tipo de roca.

Figura 15. Gráficos de caja de la resistencia a compresión simple (MPa) por tipo de roca.

Figura 16.Gráficos de caja del módulo de deformación (MPa) por tipo de roca.

Figura 17.Gráficos de caja del peso específico seco (kN/m3) por grupo de RCS.

Figura 18.Gráficos de caja de la porosidad absoluta (%) por grupo de RCS.

Figura 19.Gráficos de caja de la velocidad de ondas longitudinales (m/s) por grupo de RCS.

Figura 20.Gráficos de caja de la velocidad de ondas de corte (m/s) por grupo de RCS.

Figura 21.Gráficos de caja del módulo de deformación (MPa) por grupo de RCS.

Los gráficos de caja por tipo de roca muestran diferen-cias entre los distintos grupos. Por otra parte, los valores de los coeficientes de variación de los pesos específicos, poro-sidades y RCS disminuyen prácticamente en todos los ca-sos al separar por tipo de roca, respecto a los totales, como se puede apreciar en la tabla 2 a tabla 7.

Los gráficos de caja por grupo de RCS evidencian una correlación importante entre la RCS y las variables repre-sentadas (peso específico, porosidad, velocidades de onda y módulo de deformación), tal y como se apreciaba, asi-mismo, en la figura 10. Ello a pesar de no haber distingui-do entre diferentes mecanismos de rotura producidos, muy influyentes en los valores de RCS (Bewick et al. (2015).

3.3.3. Análisis de variabilidad entre los grupos

Los gráficos anteriores permiten visualizar tanto la va-riabilidad entre grupos como dentro de los grupos. Si la primera es apreciablemente mayor que la segunda la cla-sificación elegida es influyente en la variable que se está analizando. No obstante, para analizar si la variabilidad en-tre grupos es significativa se realiza un análisis de varian-za. Cuando dicho análisis se hace comparando los valores medios de un parámetro se deben cumplir las condicio-nes de normalidad y homocedasticidad (homogeneidad de varianzas). Cuando éstas no se cumplen se debe recu-rrir a transformaciones de los datos o bien a otros méto-dos de comparación. En general, en los casos estudiados no se cumplen estas hipótesis, por lo que se ha utilizado para la comparación el método de Kruskal-Wallis, que compa-ra las medianas y no requiere que se cumplan los supuestos anteriores. Las hipótesis de esta prueba son:

  1. Hipótesis nula H0: las medianas son todas iguales (es decir, las muestras proceden de una misma po-blación).
  2. Hipótesis alternativa Ha: al menos una de las media-nas es diferente (es decir, las muestras proceden de poblaciones distintas).

Se han comparado los subconjuntos tipos de rocas, con el análisis del Kruskal-Wallis obteniéndose en todos los ca-sos un p-valor inferior a 0,05, que permite rechazar H0 e inferir, por tanto, que para un nivel de significancia α=0,05 se puede decir que existen diferencias significativas al me-nos entre algunos grupos. Eliminando el grupo de los pi-roclastos, que presenta características muy diferentes del resto, se siguen obteniendo diferencias entre grupos con este análisis. Ello indica que el tipo de roca es influyente para las variables consideradas.

3.3.4. Ajuste de distribuciones

Se ha realizado el ajuste de diferentes distribuciones es-tadísticas a los parámetros analizados. Las distribuciones consideradas han sido: Normal, logNormal, exponencial, gamma y Weibull. La bondad de los ajustes de los datos a distribuciones se ha examinado de acuerdo al test de Kol-mogorov-Smirnov, que compara las frecuencias relativas acumuladas de las dos distribuciones, la observada y la teó-rica. En el caso de la distribución Normal además también se ha evaluado la Normalidad con el test de Shapiro-Wilk, más potente en muestras pequeñas (n menor a 50)

Aunque algunos estudios (e.g., Sari (2009), Marcano (2013), Muñiz (2015)) sugieren que algunos de estos pa-rámetros se distribuyen de acuerdo a una variable Nor-mal o logNormal, con la base de datos estudiada no se ha podido constatar este hecho, ya que los datos no se han ajustado mejor a estas distribuciones que a las demás con-sideradas.

3.3.5. Aproximación a los valores característicos de los parámetros

A partir del Teorema Central del Límite se deduce que el valor medio de muestras de n datos es una variable alea-toria que se ajusta a una función Normal, siempre que la variable aleatoria de la población sea normal, o bien cuan-do el tamaño de la muestra sea elevado aunque la varia-ble no sea Normal. Cuando no se dan estas condiciones la variable aleatoria que es la media muestral se ajusta a una función t de Student con n-1 grados de libertad. En la prác-tica se adopta un valor n ≥ 30 para suponer un número ele-vado de datos, ya que para este valor la función t de Student y la Normal prácticamente coinciden.

Como se ha visto que las variables analizadas por tipos de roca no siempre se ajustan bien a una distribución Nor-mal, se han estimado los valores característicos a partir de la t de Student.

De acuerdo con Bond y Harris (2008), cuando se reali-za la estimación del valor medio por métodos estadísticos se definen los valores característicos superior (Xk,sup) e infe-rior (Xk,inf) de la forma siguiente:

Formula

KOdonde t(n-1, 95%) es el valor de la t de Student para n-1 gra-dos de libertad, para un nivel de confianza del 95%, y n el tamaño de la muestra y Vx el coeficiente de variación (Cov) de la muestra:

Formula

Si se conoce previamente la varianza t(n-1, 95%) se puede sustituir por t(∞, 95%) (igual a la normal).

De esta manera se han estimado para los diferentes ti-pos de roca considerados los valores característicos que se presentan en las tablas 2 a 7 para los valores medios de la porosidad total, el peso específico seco, las velocidades de onda longitudinal y de corte, la RCS y el módulo de de-formación lineal. Estos valores característicos, si bien no son rigurosos dada la procedencia tan diversa, se consi-dera que pueden ser útiles para dar una idea del orden de

Los intervalos definidos por los valores característicos superior e inferior representan intervalos de los valores medios, definidos para un nivel de confianza del 90%. A su vez, los valores característicos inferior y superior del valor medio son aquellos que tienen un 5% de probabilidad de ser rebasados.

Tabla 2. Valores del peso específico seco (kN/m3)

Tabla 3. Valores de la porosidad absoluta (%)

Tabla 4. Valores de la veloc. de ondas longit. (m/s)

Tabla 5. Valores de la veloc. de ondas cort. (m/s)

Tabla 6. Valores de la RCS (MPa)

Tabla 7. Valores del módulo de deformación (GPa)

4. RESUMEN Y REFLEXIONES FINALES

Recopilando datos de ensayos realizados en el Labora-torio de Geotecnia del CEDEX en los últimos diez años so-bre testigos de roca se ha creado una base de datos con los resultados de 16 variables numéricas y 8 categóricas en 728 muestras de ensayo

Se ha realizado un análisis exploratorio de los datos en su conjunto, obteniendo estadísticos de la muestra y verifi-cando la existencia de correlaciones entre diversas variables.

Se han creado una serie de subconjuntos de acuerdo a di-ferentes criterios y se han analizado los mismos, examinan-do su variabilidad intra e inter-grupo, validando que éstos presentan menor variabilidad que el conjunto total, aunque muy elevada por la diferente procedencia de los datos.

Se ha realizado un ajuste de diferentes funciones de dis-tribución a los datos de los parámetros, sin haberse podido constatar ninguna función que se ajuste mejor, si bien al-gunos estudios sugieren que las que mejor se ajustan a los parámetros geotécnicos son la normal y logNormal.

Con los datos disponibles se han estimado unos valo-res característicos de los valores medios de los parámetros considerados.

En un futuro esta base de datos se deberá continuar ampliando, así como el estudio estadístico de la misma. Con un mayor número de datos se podrán hacer nuevas subdivisiones de grupos de rocas más homogéneos.

5. BIBLIOGRAFÍA

Bewick, R.P., Amann, F., Kaiser, P.K., y Martin, C.D. (2015). In-terpretation of UCS results for engineering design. 13th Int. ISRM Congress. Montreal, Canada

Crisóstomo Masetto, J. (2015). Tratamiento estadístico de pa-rámetros geotécnicos de distintos tipos de rocas. Trabajo Fin de Máster. Madrid: E.T.S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM).

Bond, A., y Harris, A. (2008). Decoding Eurocode 7. London: Taylor and Francis

EN 1997-1: 2004. Eurocode 7: Geotechnical design-Part 1: Ge-neral rules

ISRM (1981). Rock characterization. Testing and Monitoring: ISRM Suggested Methods. New York y Oxford: Pergamon Press.

Kahraman, S. (2001). Evaluation of simple methods for as-sessing the uniaxial compressive strength of rock. InternationalJournal of Rock Mechanics and Mining Sciences. Vol. 38, nº 7, pp. 981-994.

Karakus, M., Kumral, M., y Kilic, O. (2005). Predicting elastic properties of intact rocks from index tests using multiple regres-sion modelling. International Journal of Rock Mechanics andMining Sciences, Vol. 42, nº 2, pp. 323-330.

Kilic, A., y Teymen, A. (2008). Determination of mecha-nical properties of rocks using simple methods. Bulleting of Engineering Geology and the Environment. Vol. 67, nº 2, pp. 237-244.

Marcano Ceballos, D. (2013). Estimación de parámetros geo-técnicos por métodos estadísticos. Aplicación a los suelos de la bahía de Santander. Tesis Doctoral. Santander: Universidad de Canta-bria (UC).

Muñiz Menéndez, M. (2015). Unidades geotécnicas del futuro enlace fijo a través del estrecho de Gibraltar. Tesis Doctoral. Ma-drid: Universidad Complutense de Madrid (UCM).

Sari, M. (2009). The stochastic assessment of strength and de-formability characteristics for a pyroclastic rock mass. Internatio-nalJournal of Rock Mechanics and Mining Sciences. Vol. 46, nº 3, pp. 613-626.

Schneider, H.R., y Fitze, P. (2013). Characteristic shear stren-gth values for EC7: Guidelines based on a statisticcal framework. XV European Conference on Soil Mechanics and Geotechnical En-gineering, September 12-15, 2011, Athens, Greece

Yasar, E., y Erdogan, Y. (2004). Correlating sound velocity with the density, compressive strength and Young’s modulus of carbonate rocks. InternationalJournal of Rock Mechanics and Mi-ning Sciences. Vol. 41, nº 5, pp. 871-875.