Resumen

Uno de los problemas más relevantes en la mecánica de rocas es determinar el comportamiento tenso-deformacional completo de las rocas tanto a escala de laboratorio como de obra. Mientras que hay algunos procedimientos estándar sugeridos para calcular los parámetros elásticos y del criterio de pico a partir de los datos de laboratorio, el comportamiento post-rotura es objeto de investigación al objeto de definir de manera apropiada el marco teórico y los parámetros necesarios para representarlo de manera suficientemente aproximada. Arzúa & Alejano (2013) llevaron a cabo un exhaustivo programa de laboratorio para estudiar el comportamiento tenso-deformacional completo de muestras intactas de granito Blanco Mera. Estos resultados se han usado en este estudio para ajustar los parámetros micro-mecánicos en el Bonded-Particle Model de PFC para intentar reproducir el comportamiento observado en el laboratorio. Primero, se ha intentado realizar con el modelo parallel-bond definido en Potyondy & Cundall (2004) pero se han encontrado dificultades para reproducir la respuesta friccional real de la muestra de roca. Para superar estos problemas, se ha utilizado el denominado modelo flat-joint definido por Potyondy (2012) para simular los ensayos, mejorando la exactitud de las simulaciones y permitiendo representar en forma razonablemente aproximada las principales tendencias del comportamiento post-rotura. Palabras clave: comportamiento tenso-deformacional, simulación numérica, Particle Flow Code, parallel-bond, flat-joint.

1. INTRODUCCIÓN

Durante años, muchos autores centraron sus trabajos en estudiar el comportamiento de las rocas y los macizos rocosos hasta la resistencia de pico. Sin embargo, durante las últimas décadas, se ha comenzado a trabajar en intentar comprender como los macizos rocosos se comportan tras la rotura, es decir, después de que se sobrepase la resisten-cia de pico

Este comportamiento post-pico es relevante para po-der comprender algunos de los problemas más desafiantes de la mecánica de rocas, como el comportamiento en los procesos de hundimiento en minería masiva, la evolución de los macizos fracturados en condiciones cambiantes de tensión o el comportamiento a largo plazo de depósitos de residuos nucleares

El comportamiento post-rotura de una roca incluye la transición desde la resistencia de pico a la residual, que lle-va consigo una deformación volumétrica variable. Hoek and Brown (1997) propusieron, basándose en su experiencia en ingeniería y en el análisis numérico de una variedad de ca-sos reales, tres tipos básicos de comportamiento post-rotu-ra para macizos rocoso (fig. 1). Las tendencias generales en post-rotura tienden a clasificarse en: comportamiento elas-to-frágil asociado a los macizos rocosos de buena calidad (GSI>70), comportamiento elasto-plástico perfecto rela-cionado con los macizos rocosos de baja calidad (GSImenor a 30), y comportamiento elasto-plástico con reblandecimiento para los casos de macizos rocosos que demuestran una ca-lidad geotécnica media (valores de GSI entre 30 y 60).

En el laboratorio John P. Harrison de Mecánica de Rocasde la Escuela de Ingeniería de Minas de la Universidad de Vigo, se ha estudiado mediante ensayos de compresión el comportamiento tenso-deformacional del granito Blanco Mera, con particular énfasis en la fase de post-rotura (Ar-zúa and Alejano 2013, Arzúa et al. 2013).

Figura 1. Comportamientos post-rotura sugeridos: (a) comportamiento elasto-frágil, (b) comporta-miento elasto-plástico perfecto, (c) comportamiento elasto-plástico con reblandecimiento. De acuerdo con Hoek and Brown (1997).

En el presente estudio, se ha intentado simular el com-portamiento mecánico de este granito mediante el códi-go PFC (Particle Flow Code) de la compañía Itasca (Itasca 2014). Anteriormente se realizaron pruebas mediante mo-delos continuos, tales como FLAC (Arzúa et al. 2013), que han mostrado resultados razonablemente ajustados, aun-que también se han observado algunos problemas. El pri-mer paso es simular el comportamiento de probetas intactas, con el objetivo de ajustar las diferentes micro-propiedades que definen el comportamiento macroscópico del granito, lo cual es el principal objetivo de esta investigación.

1.2. Granito Blanco Mera

El granito Blanco Mera es una roca dura originaria de Galicia y ampliamente usada como material de construc-ción y ornamental que muestra un color blanco brillante y una textura de grano grueso con granos en un rango de 1 a 6 mm (fig. 2). Presenta una resistencia a compresión simple media de en torno a 110 MPa.

Antes de comenzar las simulaciones, es preciso cono-cer las macro-propiedades del granito Blanco Mera, las cuales se han obtenido a partir de los precitados ensayos de laboratorio (Arzúa and Alejano 2013). La tabla 1 mues-tra las macro-propiedades medias en términos de paráme-tros elásticos (módulo de Young y coeficiente de Poisson) y resistencias de pico y residual para dos presiones de con-finamiento (2 y 10 MPa), obtenidas a partir de los ensayos de laboratorio y usadas para calibrar el modelo PFC objeto de este estudio.

Tabla 1. Macro-propiedades del granito Blanco Mera (Arzúa and Alejano 2013).

Figura 2. Micrografías de una lámina delgada y una muestra del granito Blanco Mera.

2. EL BONDED-PARTICLE MODEL

2.1. Introducción

Potyondy and Cundall (2004) argumentan que una roca se comporta como un material granular cementado con granos de formas complejas, en el cual, tanto los gra-nos como el cemento son deformables y el cemento puede romper, y que un modelo conceptual puede, en principio, explicar todos los aspectos del comportamiento mecánico. Teniendo esto en mente, los autores definen el bonded-par-ticle model (BPM) para rocas como un modelo que consis-te en un empaquetamiento denso de partículas de tamaño no uniforme circulares (2D) o esféricas (3D) que se en-cuentran unidas en sus puntos de contacto y cuyo com-portamiento mecánico puede ser simulado mediante el programa de elementos discretos PFC (Particle Flow Code).

Los modelos de las probetas de granito se crean usan-do el BPM como material base. Las probetas se crean en un recipiente material, donde los granos son balls o clumps y el cemento puede estar formado tanto por con-tactos del tipo parallel-bonded, como del tipo flat-jointed(Potyondy 2015).

Se crearon tres grupos de probetas diferentes (fig. 3) uno para cada tipo de ensayos: uno para los ensayos de compresión simple (54mm × 108mm), uno para los en-sayos triaxiales (54mm × 100mm), y uno para los ensa-yos de resistencia a tracción (54mm × 135mm) recreando las probetas reales ensayadas que seguían las indicaciones de los métodos de ensayos de laboratorio sugeridos por la ISRM (2007).

2.2. Material «parallel-bonded»

Un material parallel-bonded es aquel en el que el mo-delo que define el comportamiento del contacto es el para-llel-bond. Este modelo de contacto proporciona el contacto mecánico del cemento situado entre las partículas. Este ce-mento proporciona una interacción entre las partículas, las cuales tienen la posibilidad de deslizarse, permitiendo tam-bién la transmisión tanto de fuerzas como de momentos entre los granos.

El modelo parallel-bond proporciona el comporta-miento de dos interfaces: una interfaz infinitesimal, elástica lineal (sin resistencia a tracción) y con fricción que sopor-ta una fuerza; y una interfaz de tamaño finito, elástica li-neal y bonded que soporta una fuerza y un momento (fig. 4). La primera interfaz es equivalente al modelo lineal: no re-siste una rotación relativa, y el deslizamiento se acomoda imponiendo un límite de Coulomb en la fuerza de cizalla-dura. La segunda interfaz se denomina parallel-bond, por-que, cuando está unida (bonded), actúa en paralelo con la primera interfaz, resiste a una rotación relativa, y su com-portamiento es elástico lineal hasta que se excede el lími-te de la resistencia y se rompe la unión, convirtiéndolo en desunido (unbonded). Cuando la segunda interfaz está des-unida (unbonded) no se puede soportar ninguna carga. El modelo parallel bond desunido es equivalente al modelo li-neal, que no resiste rotaciones relativas.

El parallel bond en 3D se puede concebir como un con-junto de muelles con rigideces normal y cortante cons-tantes, uniformemente distribuidos sobre las superficies de la sección circular, situados en el plano de contacto y centrado en el punto de contacto. Estos muelles actúan en paralelo con el muelle de la componente lineal. El movi-miento relativo en el contacto, que ocurre después de que el parallel bond sea creado, causa una fuerza y un momento que se desarrollan dentro del bond material. Esta fuerza y momento actúan sobre las dos piezas en contacto y pueden relacionarse con esfuerzos normales y cortantes máximos, actuando en el bond material en la periferia de la unión. Si cualquiera de las tensiones máximas excede su corres-pondiente resistencia de unión, el parallel bond rompe, y el bond material se elimina del modelo junto con su fuerza, su momento y sus rigideces acompañantes.

Figura 3. Probetas creadas con PFC.

Figura 4. Comportamiento y componentes reológicos del modelo parallel bond con amortiguación inactiva (Itasca 2014).

2.3. Material «flat-jointed»

El material flat-jointed en 3D (fig. 5) consta de partícu-las unidas mediante contactos flat-joint de modo que la su-perficie efectiva de cada cuerpo se define por las superficies teóricas de sus piezas, que interactúan en cada contacto flat-joint con la superficie teórica de la pieza en contacto contigua.

En el material flat-jointed, los granos tienen caras, esto es, son faced. Cada grano se representa como un núcleo es-férico y un número de caras planas o skirted faces. Los gra-nos faced se crean cuando el modelo flat-joint se instala en el contacto de los granos. Este modelo proporciona el com-portamiento macroscópico de un tamaño finito, elástico lineal y bonded o con fricción, que puede soportar daño parcial (fig. 6). La interfaz se discretiza en elementos, y cada elemento puede estar tanto unido (bonded) como desunido (unbonded), y la rotura de cada elemento bonded contribu-ye al daño parcial de la interfaz.

El comportamiento de un elemento unido (bonded) es elástico hasta que se excede la resistencia límite y la unión se rompe, convirtiendo al elemento en unbonded; el com-portamiento de un elemento unbonded es elástico lineal y con fricción, con deslizamiento acomodado mediante la imposición de un límite de Coulomb en la fuerza de ciza-lladura. Cada elemento soporta una fuerza y un momento que obedecen la ley fuerza-desplazamiento, mientras que la respuesta fuerza-desplazamiento de la interfaz flat-jointes un comportamiento emergente que incluye la evolución desde un estado completamente bonded a un estado com-pletamente unbonded y friccional.

Figura 5. Contacto flat-joint (izquierda) y material flat-jointed (derecha) (Itasca, 2014).

Figura 6. Comportamiento y componentes reológicos de un modelo flat-jointed (Itasca, 2014).

Si el desplazamiento relativo de un contacto flat-joint es mayor que el diámetro del flat-joint, entonces las caras ad-yacentes pueden eliminarse (porque el contacto desapare-ce). Esto hace los granos asociados localmente esféricos. Si estos granos se ponen en contacto, el comportamiento será aquel de una interfaz entre superficies esféricas.

3. CALIBRACIÓN

Cuando se realiza la calibración de un material, es nece-sario definir y ajustar diferentes parámetros. Cada modelo de contacto tiene sus propias micro-propiedades, las cuales se pueden agrupar en propiedades de empaquetamiento, de partículas y de contactos.

3.1. Material «parallel-bonded»

Los parámetros que definen el material parallel-bondedpueden agruparse en tres bloques (tabla 2): en el primero, se incluyen los asociados al procedimiento de creación del material; en el segundo, se agrupan las propiedades de los granos; y en el último grupo, se recogen las propiedades asociadas al modelo de contacto parallel-bond

Para la elección de los parámetros del material para-llel-bonded se siguieron las recomendaciones de Potyondy and Cundall (2004), y en la experiencia previa de los propios autores.

Tabla 2. Micro-propiedades del granito Blanco Mera para el modelo parallel-bond

La relación Dmax/Dmin puede ser igual o mayor que 1, produciendo, respectivamente, una disposición cristalina o un empaquetamiento isotrópico arbitrario. Potyondy and Cundall (2004) argumentan que la relación Dmax/Dmin igual a 1.66 es la que mejor representa a una roca dura, como es el granito. El radius multiplier (λ) establece el valor del ra-dio del parallel-bond. Cuando el radio es igual a 1, el ce-mento rellena completamente el hueco entre las partículas, cuando es igual a 0, el comportamiento del material es si-milar al de un material granular

Los módulos de Young de las partículas y del cemen-to se calibran para obtener el módulo de Young de la roca, y las relaciones de rigideces para ajustar el coeficiente de Poisson. El coeficiente de fricción se establece igual a 0.5 de acuerdo a Potyondy and Cundall (2004) y dado que este coe-ficiente no afecta al comportamiento pre-pico, se considera como un valor no nulo. La resistencia a tracción y la cohe-sión de los contactos se establecen iguales para permitir la formación de microfisuras tanto por tracción como por ci-zalladura o cortante con igual probabilidad. Estos paráme-tros se afinan mediante un proceso de ajuste para obtener la resistencia de pico en los ensayos a compresión. Para te-ner en cuenta la variabilidad real, a ambos parámetros se les aplica una desviación estándar, que en nuestro caso se fija en un 20% del valor medio.

3.2 Material «flat-jointed»

Como en el material parallel-bonded, podemos clasifi-car los parámetros en los mismos tres grupos (tabla 3). La calibración de los micro-parámetros que define el material flat-jointed se llevó a cabo siguiendo las recomendaciones de Potyondy and Cundall (2004), Potyondy (2012) y la expe-riencia propia de los autores.

Tabla 3. Micro-propiedades del granito Blanco Mera para el modelo flat-joint

El número de elementos en las direcciones radial y cir-cunferencial son los valores por defecto. Las fracciones unidas y separadas son la fracción de contactos que están inicialmente unidos (bonded) o separados (gapped), res-pectivamente. Se observó que el mejor ajuste es aquel que considera todos los contactos unidos.

Para poder obtener un mejor ajuste, la relación del mó-dulo de Young de los granos respecto al del contacto es igual a 1.5. La relación de rigideces se ajustó para obtener el coeficiente de Poisson obtenido en laboratorio, la resis-tencia a tracción del contacto se eligió para ajustar la re-sistencia a tracción de la roca obtenida en los ensayos y la cohesión del contacto para lograr la resistencia de pico ob-servada en los ensayos de laboratorio reales. Como en el parallel-bond, se establece un valor de desviación estándar para la resistencia a tracción y la cohesión de los contactos igual al 20% del valor medio.

4. RESULTADOS

Las calibraciones iniciales se llevaron a cabo para alcan-zar los resultados obtenidos en los ensayos de compresión triaxial a confinamientos de 2 y 10 MPa. Los resultados se obtuvieron a partir de la calibración del comportamiento de 10 seed numbers diferentes, es decir, de 10 disposicio-nes de empaquetamientos diferentes. Dado que el método empleado es de prueba y error, es preciso llevar a cabo un número mínimo de simulaciones (10, en este caso), de tal forma que la media de todos los resultados sea razonable-mente representativa de la respuesta mecánica real de la roca en laboratorio.

4.1. «Parallel-bond»

Las simulaciones llevadas a cabo a confinamientos de 2 y 10 MPa proporcionan los resultados mostrados en la tabla 4, que, como se comentó en el párrafo anterior, son la media de los resultados de 10 empaquetamientos dife-rentes.

Figura 7. Curvas tensión-deformación para ensayos con presiones de confinamiento de 2 MPa (ne-gro) y 10 MPa (gris) obtenidas en laboratorio (línea sólida) y obtenidas en PFC3D con el modelo para-llel-bond (línea punteada).

Comparando los resultados de las tablas 1 y la 4, po-demos observar que, con un confinamiento de 2 MPa, el módulo de Young, el coeficiente de Poisson, y las resisten-cias de pico y residual que se obtienen con el modelo pa-rallel-bond se ajustan razonablemente bien a los ensayos de laboratorio. Sin embargo, la resistencia a tracción y los parámetros para el caso de un mayor confinamiento (10 MPa) son muy diferentes. En la figura 7 se pueden obser-var dichas discrepancias, en la representación de las curvas tensión-deformación obtenidas en laboratorio y con la si-mulación mediante el modelo parallel-bond.

Tabla 4. Macro-propiedades del granito Blanco Mera obtenidas a partir del modelo parallel-bond

Debido a las dificultades a la hora de obtener la resis-tencia a tracción y reproducir el aumento de la resistencia de pico con el confinamiento, se consideró que el modelo parallel-bond no era capaz de reflejar de manera suficiente-mente representativa el comportamiento de la roca.

4.2. «Flat-joint»

En este punto se repiten los ensayos anteriores con el modelo flat-joint. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla 5.

Tabla 5. Macro-propiedades del granito Blanco Mera obtenidas a partir del modelo flat-joint

Como se puede observar a partir de la comparación de las tablas 1 y 5, el modelo flat-joint proporciona un mejor ajuste del comportamiento elástico y de la resistencia pico. Incluso se ha obtenido un buen resultado en los ensayos de tracción.

En las figuras 8 y 9 se puede observar una compa-ración entre los resultados obtenidos con PFC y los re-sultados obtenidos en el laboratorio para una curva tensión-deformación completa, incluyendo la deforma-ción volumétrica.

Figura 8. Curvas tensión-deformación para ensayos de compresión a una presión de confinamiento de 2 MPa obtenidas en laboratorio (línea sólida) y la obtenida con PFC3D con el modelo flat-joint (línea punteada).

Estos resultados son unos resultados preliminares del modelo flat-joint. Sin embargo, aunque obtenemos un me-jor ajuste del comportamiento post-pico, el ajuste tiene po-tencial para mejorar. Es preciso resaltar que, este es uno de los primero intentos de reproducir el comportamien-to post-rotura de rocas mediante un código de partículas, por lo que el grado de precisión es considerado razonable en esta fase.

Figura 9. Curvas tensión-deformación para ensayos de com-presión a una presión de confinamiento de 10 MPa obtenidas en laboratorio (lí-nea sólida) y la obtenida con PFC3D con el modelo flat-joint (línea punteada).

Figura 10. Representación de las 10 curvas tensión-deformación diferentes (asociadas a los 10 empa-quetamientos) para ensayos de compresión triaxial a 2 MPa.

En las figuras 8 y 9 también se muestran diferentes cur-vas tensión-deformación obtenidas en laboratorio para representar la variación natural de las propiedades de un material natural comparado con la obtenida mediante el código numérico. Esta variación también se puede repre-sentar mediante el código PFC, como se muestra en la fi-gura 10, asociado a los distintos empaquetamientos, lo que puede ser usado también para ajustar modelos en el futuro.

Figura 11. Representación de las probetas mediante vectores desplazamiento donde se puede observar la banda de cizalladura (izquierda) y las fracturas de contacto a tracción que suceden en las muestras (centro) comparadas con probetas reales (derecha), para tensiones de con-finamiento de (a) 2 MPa y (b) 10 MPa

Con PFC también es posible obtener la evolución del desplazamiento y del crecimiento de las fisuras en las pro-betas a lo largo de todo el proceso de ensayo. La repre-sentación vectorial del desplazamiento puede usarse para intentar identificar la formación de zonas de rotura axial o bandas de cizalladura, como representación de los meca-nismos de rotura observados en la práctica. Para motivos ilustrativos, la figura 11 compara la respuesta del desplaza-miento del modelo al final de dos ensayos, uno con un con-finamiento de 2MPa y otro de 10 MPa, mediante diagramas de desplazamiento al final del proceso de modelado junto con la rotura de los contactos (que será objeto de un es-tudio más exhaustivo), junto una probeta rota obtenida a partir de un ensayo de laboratorio.

5. CONCLUSIONESE

El objetivo principal de este estudio es simular el com-portamiento tenso-deformacional completo del granito Blanco Mera mediante el código PFC de la compañía Itasca Consulting Group.

En una primera fase, se ha usado el modelo de contac-to parallel-bond, pero no se ha logrado completamente el objetivo, dado que solo se puede simular el comportamien-to tenso-deformacional para un estado tensional específico pero no se puede simular el aumento de la resistencia con el confinamiento, es decir, el efecto friccional no se refleja bien en este tipo de ajuste.

Después, se ha usado el modelo de contacto flat-joint.Con este modelo de contacto, el aumento de la resisten-cia con el confinamiento se ha reflejado apropiadamente. Además, las tendencias más relevantes del comportamien-to post-rotura se han reproducido aproximadamente, aun-que se precisa un mejor ajuste de la resistencia residual y, en particular la respuesta de la deformación volumétrica de las muestras de las rocas.

Esto no es sorprendente ya que los códigos de partícu-las son aún una tecnología nueva. Sin embargo, los resulta-dos son lo suficientemente alentadores como para hacer un esfuerzo en lograr un mejor ajuste de los parámetros con el fin de obtener una mejor representación del complejo comportamiento post-rotura del granito obtenido a partir de ensayos de laboratorio.

6. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la compañía Itasca Consul-ting Group por aceptar al primer autor es su programa Itasca Partnership Program, el cual proporciona el pro-grama PFC. Los autores también agradecen al Ministe-rio Español de Economía y Competitividad por el apoyo al estudio de laboratorio, financiado bajo el Contrato Re-ferencia No. BIA2014-53367P. Este contrato está parcial-mente financiado mediante fondos FEDER de la Unión Europea.

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